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如图,E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且AE...

如图,E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且AE=BF=CG=DH=manfen5.com 满分网AB,则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为   
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先设正方形的边长为a,再求证Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA,再由AE=BF=CG=DH=AB可求出其面积,由相似三角形的判定定理可求出△DHJ、△AEL、△BFN、△CKG是直角三角形,且都全等,再根据S阴影=S□ABCD-4S△AED+4S△AEL计算即可. 【解析】 设正方形的边长为a,则S□ABCD=a2, ∵AE=BF=CG=DH=AB, ∴AE=BF=CG=DH=a, ∴AF==a, ∵∠DAE=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°, ∴Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA, ∴S△AED=×a•a=a2. ∵Rt△AED≌Rt△BFA, ∴∠EAL=∠ADE,∠AEL=∠BFN, ∴∠ALE=∠DAE=90°, ∴△AEL是直角三角形, ∵∠EAL=∠EAL,∠ALE=∠ABF=90°, ∴Rt△AEL∽Rt△AFB, ∴==,即==, 解得,AL=a,EL=, ∴S△AEL=AL•EL=×a×=, 同理可得,S△AEL=S△BNF=S△CKG=S△DHJ=, ∴S阴影=S正方形ABCD-4S△AED+4S△AEL=a2-4S△AED+4S△AEL=a2-4×a2+4×=a2, ∴阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为a2:a2=.
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