Question

如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为    ．

Answer

先设正方形的边长为a，再求证Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，再由AE=BF=CG=DH=AB可求出其面积，由相似三角形的判定定理可求出△DHJ、△AEL、△BFN、△CKG是直角三角形，且都全等，再根据S阴影=S□ABCD-4S△AED+4S△AEL计算即可．
【解析】
设正方形的边长为a，则S□ABCD=a2，
∵AE=BF=CG=DH=AB，
∴AE=BF=CG=DH=a，
∴AF==a，
∵∠DAE=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°，
∴Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，
∴S△AED=×a•a=a2．
∵Rt△AED≌Rt△BFA，
∴∠EAL=∠ADE，∠AEL=∠BFN，
∴∠ALE=∠DAE=90°，
∴△AEL是直角三角形，
∵∠EAL=∠EAL，∠ALE=∠ABF=90°，
∴Rt△AEL∽Rt△AFB，
∴==，即==，
解得，AL=a，EL=，
∴S△AEL=AL•EL=×a×=，
同理可得，S△AEL=S△BNF=S△CKG=S△DHJ=，
∴S阴影=S正方形ABCD-4S△AED+4S△AEL=a2-4S△AED+4S△AEL=a2-4×a2+4×=a2，
∴阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为a2：a2=．