Question

如图，将非等腰△ABC的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F处．若点D为AB边的中点，则下列结论：①△BDF是等腰三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线，成立的有（ ）

A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer

根据图形可知△DFE是△ADE对折而成，所以两三角形全等，可得AD=DF，而D是AB中点，故有BD=DF，那么①可证；再利用∠ADF是△BDF的外角，可证∠DFB=∠EDF，那么DE∥BC，即DE是△ABC的中位线，②得证；利用DE∥BC，以及△DFE和△ADE的对折，可得∠EFC=∠ECF，即△EFC也是等腰三角形，而∠B≠∠C，即∠DFB，∠DFE，∠EFC，不会同时为60°，那么∠DFE≠∠CFE，故②不成立．
【解析】
由于△DFE是△ADE对折而成，故△DFE≌△ADE，
∴AD=FD，
又∵点D为AB边的中点，
∴AD=BD，
∴BD=DF，即△BDF是等腰三角形，故（1）正确；
由于△DFE是△ADE对折而成，故△DFE≌△ADE，
∴∠ADE=∠FDE，
∵∠ADF=2∠FDE=∠B+∠DFB=2∠DFB，
∴∠FDE=∠DFB，
∴DE∥BC，点E也是AC的中点，故（3）正确；
同理可得△EFC也为等腰三角形，∠C=∠EFC，由于△ABC是非等腰的，
∴∠C≠∠B，也即∠EFC≠∠DFB，
∴∠EFC与∠DFB，∠DFE不都等于60°，
∴②∠DFE=∠CFE就不成立．
故选B．