Question

如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=k₂x+b的图象交于A、B两点，A（2，n），B（-1，-2）．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）在直线AB上是否存在一点P，使△APO∽△AOB？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

根据待定系数法求函数解析式，并假设满足条件的p点存在，根据相似就可以求出P的位置．
【解析】
（1）∵双曲线过点（-1，-2）
∴k1=-1×（-2）=2
∵双曲线过点（2，n）
∴n=1
由直线y=k2x+b过点A，B得，
解得
∴反比例函数关系式为y=，一次函数关系式为y=x-1．

（2）存在符合条件的点P，．
理由如下：∵A（2，1），B（-1，-2），
∴OA==，AB==3，
∵△APO∽△AOB
∴，
∴AP=，
如图，设直线AB与x轴、y轴分别相交于点C、D，过P点作PE⊥x轴于点E，连接OP，作AF⊥x轴，BG⊥x轴，DH⊥BG．
在直线y=x-1中，令x=0，解得：y=-1，则D的坐标是：（0，-1）；
在直线y=x-1中，令y=0，解得：x=1，则C的坐标是（1，0）；
则CF=OF-OC=2-1=1，AF=1，在直角△ACF中，AC==，
OC=OD=1，则CD==，
BH=BG-GH=2-1=1，DH=1，在直角△BDH中，BD==，
则AC=CD=DB=，
故PC=AC-AP=，
在直线y=x-1中，令x=0，则y=-1，则D的坐标是（0，-1），OD=1，
令y=0，则x=1，则C的坐标是：（1，0），则OC=1，
则△OCD是等腰直角三角形．
∴∠OCD=45°，
∴∠ACE=∠OCD=45°．
再由∠ACE=45°得CE=PE=，
从而OE=OC+CE=，
点P的坐标为P（．