已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．
考点分析：
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如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A
1B
1C
1．
﹙1﹚将△ABC，△A
1B
1C
1如图②摆放，使点A
1与B重合，点B
1在AC边的延长线上，连接CC
1交BB
1于点E．求证：∠B
1C
1C=∠B
1BC．
﹙2﹚若将△ABC，△A
1B
1C
1如图③摆放，使点B
1与B重合，点A
1在AC边的延长线上，连接CC
1交A
1B于点F，试判断∠A
1C
1C与∠A
1BC是否相等，并说明理由．
﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A
1FC相似的三角形．
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如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S
1，S
2，S
3表示，则不难证明S
1=S
2+S
3．
（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S
1，S
2，S
3表示，那么S
1，S
2，S
3之间有什么关系；（不必证明）
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S
1、S
2、S
3表示，请你确定S
1，S
2，S
3之间的关系并加以证明；
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S
1，S
2，S
3表示，为使S
1，S
2，S
3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；
（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．
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如图，已知△ABC∽△A
1B
1C
1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A
1B
1C
1的三边长分别为a
1、b
1、c
1．
（1）若c=a
1，求证：a=kc；
（2）若c=a
1，试给出符合条件的一对△ABC和△A
1B
1C
1，使得a、b、c和a
1、b
1、c
1都是正整数，并加以说明；
（3）若b=a
1，c=b
1，是否存在△ABC和△A
1B
1C
1使得k=2？请说明理由．
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我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．
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定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．
探究：
（1）如图甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为S
N．
①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜S
n＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）
②当n＞1时，请写出一个反映S
n-1，S
n，S
n+1之间关系的等式．（不必证明）
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