Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，点F在AC延长上，且CF=AC．求证：四边形ADEF是等腰梯形．

Answer

先根据三角形的中位线定理，证得D四边形ADEF是梯形；
再证得△ECF≌△BED，可得EF=BD，又AD=BD，∴AD=EF，则四边形ADEF是等腰梯形．
证明：证法一：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，且DE=AC．
∴DE≠AF，
∴四边形ADEF是梯形．
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠BCA=∠ECF=90°．
∵CF=AC，
∴CF=DE，
又CE=BE，
∴△ECF≌△BED．
∴EF=BD，
又AD=BD，
∴AD=EF．
所以四边形ADEF是等腰梯形．

证法二：证明梯形的方法同上．
连接CD．
∵D为AB中点，
∴CD=AB=AD．
∵DE∥CF，且DE=CF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴CD=EF，
∴AD=EF，
∴四边形ADEF为等腰梯形．