Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE上BP，P为垂足，PE交DC于点E．
（1）△ABP和△DPE是否相似？请说明理由；
（2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；
（4）请你探索在点P的运动过程中，△BPE能否构成等腰三角形？如果能．求出AP的长；如果不能，请说明理由．

Answer

（1）△ABP和△DPE是相似的，∵∠A=∠D=90°，而∠BPE=90°，根据这两个条件可以证明它们相似；
（2）根据（1）得到，根据这个结论就可以求出y与x之间的函数关系式；
（3）能构成矩形，∵四边形ABED已经是直角梯形，若AB=DE它就是矩形，根据这个条件和（2）中函数关系式可以求出AP长；
（4）能构成等腰三角形，当AP=DE时，△ABP≌△DPE，这样可以得到BP=PE，此时△BPE为等腰三角形，然后根据函数关系式就可以求出AP长．
【解析】
（1）△ABP∽△DPE．

（2）由（1）△ABP∽△DPE，
∴∴，
∴y=-x2+x（0＜x＜5）．

（3）能构成矩形．
当DE=AB=2时，∵AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABED为矩形．
由（2）有-x2+x=2．x1=1，x2=4．
∴当AP=1或AP=4时，ABED是矩形．（9分）

（4）能构成等腰三角形．
当AP=DE时，△ABP≌△DPE，此时△BPE为等腰三角形．（1O分）
即-x2+x=x．解之得x1=3，x2=0（舍去）．
即AP=3时，△BPE是等腰三角形（答等腰直角三角形同样正确）．（12分）