Question

如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．
（1）求证：ID=BD；
（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

Answer

（1）要证明ID=BD，只要求得∠BID=∠IBD即可；
（2）根据已知及相似三角形的判定方法得到△ABD∽△BED，根据相似比可得出y与x的函数关系式，再根据已知不难得到自变量x的取值范围．
（1）证明：∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD（3分）
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；（5分）

（2）【解析】
∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D
∴△ABD∽△BED（7分）
∴
∴AD×DE=BD2=ID2（8分）
∵ID=6，AD=x，DE=y
∴xy=36（9分）
又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10
∴6＜x≤10
∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分）
说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．