Question

如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．
（1）求证：AH•AB=AC²；
（2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE•AF=AC²；
（3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP•AQ=AC²是否成立．（不必证明）

Answer

（1）连接CB，证明△CAH∽△BAC即可；
（2）连接CF，证△AEC∽△ACF，根据射影定理即可证得；
（3）由（1）（2）的结论可知，AP•AQ=AC2成立．
证明：（1）连接CB，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC，
∴，
即AH•AB=AC2；

（2）连接FB，易证△AHE∽△AFB，
∴AE•AF=AH•AB，
∴AE•AF=AC2；
（也可连接CF，证△AEC∽△ACF）

（3）结论AP•AQ=AC2成立（同理）．