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已知:如图,等边△ABC内接于⊙O,点P是劣弧manfen5.com 满分网上的一点(端点除外),延长BP至D,使BD=AP,连接CD.
(1)若AP过圆心O,如图①,请你判断△PDC是什么三角形?并说明理由;
(2)若AP不过圆心O,如图②,△PDC又是什么三角形?为什么?

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(1)根据已知利用SAS判定△APC≌△BDC,从而得到PC=DC,因为AP过圆心O,AB=AC,∠BAC=60°, 所以∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°,又知∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°,从而推出△PDC为等边三角形; (2)同理可证△PDC为等边三角形. 【解析】 (1)如图①,△PDC为等边三角形. (2分) 理由如下: ∵△ABC为等边三角形 ∴AC=BC ∵在⊙O中,∠PAC=∠PBC 又∵AP=BD ∴△APC≌△BDC ∴PC=DC ∵AP过圆心O,AB=AC,∠BAC=60° ∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30° ∴∠PBC=∠PAC=30°,∠BCP=∠BAP=30° ∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60° ∴△PDC为等边三角形;(6分) (2)如图②,△PDC仍为等边三角形.(8分) 理由如下: ∵△ABC为等边三角形 ∴AC=BC ∵在⊙O中,∠PAC=∠PBC 又∵AP=BD ∴△APC≌△BDC ∴PC=DC ∵∠BAP=∠BCP,∠PBC=∠PAC ∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60° ∴△PDC为等边三角形.(12分)
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考点分析:
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如图,已知AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H.
(1)求证:AH•AB=AC2
(2)若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E,与⊙O相交于点F,求证:AE•AF=AC2
(3)若过A的直线与直线CD相交于点P,与⊙O相交于点Q,判断AP•AQ=AC2是否成立.(不必证明)

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如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连接ED、BE.
(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;
(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.

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如图,点I是△ABC的内心,线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D,交BC边于点E.
(1)求证:ID=BD;
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已知,如图,AB是半圆O的直径,点C是半圆上的一点,过点C作CD⊥AB于D,AC=2manfen5.com 满分网cm.AD:DB=4:1,求AD的长.

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如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过圆心O作OD⊥AC,D为垂足,E是BC上一点,G是DE的中点,OG的延长线交BC于F.
(1)图中线段OD,BC所在直线有怎样的位置关系?写出你的结论,并给出证明过程;
(2)猜想线段BE,EF,FC三者之间有怎样的数量关系?写出你的结论,并给出证明过程.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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