Question

如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于E，F，连接DE，DF．
（1）求证：∠EAF+∠EDF=180°；
（2）已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD=BD时，连接AP，交⊙O于G，连接DG．设∠EDG=∠α，∠APB=∠β，那么∠α与∠β有何数量关系？试证明你的结论．[在探究∠α与∠β的数量关系时，必要时可直接运用（1）的结论进行推理与解答]

Answer

（1）由直径对的圆周角是直角和四边形的内角和是360度可证得∠EAF+∠EDF=180°；
（2）证得△ABD≌△APD后，可得到∠EAG+2∠β=180°，再由（1）可得∠α=2∠β．
（1）证明：在圆内接四边形AEDF中，
AD为直径，
∴∠AED=∠AFD=90°
又∠AED+∠AFD+∠EAF+∠EDF=360°
∴∠EAF+∠EDF=360°-（∠AED+∠AFD）=180°（4分）

（2）【解析】
∠α=2∠β，理由如下：
如图，
在△ABD与△APD中，
AD⊥BP，且BD=DP，AD=AD
∴△ABD≌△APD（SAS）
∴∠B=∠APD=∠β（2分）
在△ABP中∠EAG+∠B+∠APD=180°，
则∠EAG+2∠β=180°
由（1）知∠EAG+∠EDG=180°，
则∠EAG+∠α=180°
即∠α=2∠β．（4分）