Question

如图，已知半圆O的直径AB=4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O上，当三角板绕着点O转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C、D两点，连接AD、BC交于点E．
（1）求证：△ACE∽△BDE；
（2）求证：BD=DE恒成立；
（3）设BD=x，求△AEC的面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer

（1）根据圆周角定理的推论得到两个角相等，即证明三角形相似；
（2）根据圆周角定理得到∠B=45°，根据圆周角定理的推论得到∠BDE=90°，从而得到等腰直角三角形；
（3）在直角三角形ABD中，根据勾股定理表示出AD的长，再进一步表示AE的长，根据等腰直角三角形的性质进行分析计算．
（1）证明：∵∠ACB与∠ADB都是半圆所对的圆周角，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠AEC=∠DEB（对顶角相等）．
所以△ACE∽△BDE

（2）证明：∵∠DOC=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°
∴∠BAD+∠ABC=（∠AOC+∠BOD）=45°
∴∠BED=∠BAD+∠ABC=45°．
又∵∠BDE=90°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴BD=DE．

（3）【解析】
∵BD=x，BD=DE
∴DE=x，AD=，
∴AE=AD-DE=-x．
∵△ACE∽△BDE，
∴△AEC也是等腰直角三角形，
∴AC=AE=（-x）
∵△ACE∽△BDE，
∴AC=EC．
∴y=AC×EC=AC2=（-x）2=4-x，
点C与点A重合时，点D为AB弧的中点，此时BD=×=2，
所以，x的取值范围为：0＜x＜2．