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如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于E,交于D. (1)请写出四个不同...

如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于E,交manfen5.com 满分网于D.
(1)请写出四个不同类型的正确结论;
(2)连接CD,设∠CDB=α,∠ABC=β,试找出α与β之间的一种关系式,并予以证明.

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(1)AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于E,本题满足垂径定理. (2)根据四边形ACDB为圆内接四边形,可以得到α-β=90°,再根据∠CDO=∠ODB=∠CDB得到α>2β. 【解析】 (1)不同类型的正确结论有: ①BE=CE; ②BD=CD; ③∠BED=90°; ④∠BOD=∠A; ⑤AC∥OD; ⑥AC⊥BC; ⑦OE2+BE2=OB2; ⑧S△ABC=BC•OE; ⑨△BOD是等腰三角形; ⑩△BOE∽△BAC;等等. (说明:1.每写对一条给(1分),但最多只给(4分); (结论与辅助线有关且正确的,也相应给分). (2)α与β的关系式主要有如下两种形式,请参照评分: ①答:α与β之间的关系式为:α-β=90°(5分) 证明:∵AB为圆O的直径 ∴∠A+∠ABC=90°①(6分) 又∵四边形ACDB为圆内接四边形 ∴∠A+∠CDB=180°②(7分) ∴②-①得:∠CDB-∠ABC=90° 即α-β=90°(8分) (说明:关系式写成α=90°+β或β=α-90°的均参照给分.) ②答:α与β之间的关系式为:α>2β(5分) 证明:∵OD=OB ∴∠ODB=∠OBD 又∵∠OBD=∠ABC+∠CBD ∴∠ODB>∠ABC(6分) ∵OD⊥BC, ∴CD=BD ∴∠CDO=∠ODB=∠CDB(7分) ∴∠CDB>∠ABC 即α>2β.(8分) (说明:若得出α与β的关系式为α>β,且证明正确的也给满分.)
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考点分析:
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(1)求证:△CDE∽△CBA;
(2)求DE的长.

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如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点.
①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF.
以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:
①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①.
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);
(2)请证明你认为正确的命题.

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在探讨圆周角与圆心角的大小关系时,小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图1所示:
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
又∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∴∠AOC=2∠ABO
即∠ABC=manfen5.com 满分网∠AOC
如果∠ABC的两边都不经过圆心,如图2、3,那么结论会怎样?请你说明理由.
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如图,已知半圆O的直径AB=4,将一个三角板的直角顶点固定在圆心O上,当三角板绕着点O转动时,三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C、D两点,连接AD、BC交于点E.
(1)求证:△ACE∽△BDE;
(2)求证:BD=DE恒成立;
(3)设BD=x,求△AEC的面积y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.

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已知:如图,点O2是⊙O1上一点,⊙O2与⊙O1相交于A、D两点,BC⊥AD,垂足为D,分别交⊙O1、⊙O2于B、C两点,延长DO2交⊙O2于E,交BA延长线于F,BO2交AD于G,连接AD.
(1)求证:∠BGD=∠C;
(2)若∠DO2C=45°,求证:AD=AF;
(3)若BF=6CD,且线段BD、BF的长是关于x的方程x2-(4m+2)x+4m2+8=0的两个实数根,求BD、BF的长.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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