Question

如图1，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的两顶点坐标分别为A（1，0），B（2，），CD为△ABC的中线，⊙M与△ACD的外接圆，BC交⊙M于点N．
（1）将直线AB绕点D顺时针旋转使得到的直线l与⊙M相切，求此时的旋转角及直线l的解析式；
（2）连接MN，试判断MN与CD是否互相垂直平分，并说明理由；
（3）在（1）中的直线l上是否存在点P，使△PAN为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（图2为备用图）

Answer

（1）相切时∠MDA=90°，原来是60°，所以应是逆时针旋转了30°，根据CD⊥等边三角形的一边，可得点D的纵坐标应是点B的纵坐标的一半；横坐标应是点A的横坐标加上A，B横坐标之差的一半．逆时针旋转30°后，可设直线与x的交点为P，那么PA=AD=1，则P（0，0），设出正比例函数解析式，把点D的坐标代入即可求得解析式；
（2）易得∠ANC=90°，那么AN=NC，AM=MC，可得MN∥AB，那么MN⊥CD，易得△MNC是等边三角形，利用得到的垂直，那么可利用全等证得MN被CD平分，继而推出所求结论；
（3）△PAN为直角三角形，那么有可能点P是直角顶点，还有可能是点A是直角顶点及点N的直角顶点．应分三种情况探讨．注意使用特殊的三角函数和勾股定理求解．
【解析】
（1）连接MD，则∠MDA=60度，当AB绕点D，顺时针旋转使得到的直线l与圆M相切时，DM⊥AB，∠MDA=90度，所以，此时的旋转角是顺时针30度．未旋转时，点D坐标（1.5，），可设直线与x的交点为P，那么PA=AD=1，则P（0，0），设出正比例函数解析式为y=kx，过点D，所以l的解析式为：y=x；

（2）MN⊥CD，且与CD互相垂直平分，因为点N是BC的中点，MN是中位线，有CD⊥AB，MN∥AB，所以MN⊥CD，同时MN平分CD，同时利用MN连线与CD的交点及点C组成的两个三角形全等，得出CD也平分了MN；

（3）第1种情况：PA⊥AN，P（，）；
第2种情况：PN⊥AN，P（，）；
第3种情况：PA⊥PN，以AN为直径的圆与直线l的交点有2个，
AN=，
设直线l上的点P坐标为（x，x），则PA2+PN2=AN2=3，
N点坐标为（，），
（x-1）2+（x）2+（x-）2+（x-）2=3，
解得x=，这是P点的横坐标，
∴P点纵坐标是x．