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如图,在△ABC中,已知AB=BC=CA=4cm,AD⊥BC于D.点P、Q分别从...

如图,在△ABC中,已知AB=BC=CA=4cm,AD⊥BC于D.点P、Q分别从B、C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s;点Q沿CA、AB向终点B运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为x(s).
(1)当x=______时,PQ⊥AC,x=______时,PQ⊥AB;
(2)设△PQD的面积为y(cm2),当0<x<2时,求y与x的函数关系式为______

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(1)若使PQ⊥AC,则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长,再根据30度的直角三角形的性质列方程求解; 若使PQ⊥AB,则根据路程=速度×时间表示出BP,BQ的长,再根据30度的直角三角形的性质列方程求解; (2)首先画出符合题意的图形,再根据路程=速度×时间表示出BP,CQ的长,根据等边三角形的三线合一求得PD的长,根据30度的直角三角形的性质求得PD边上的高,再根据面积公式进行求解; (3)根据三角形的面积公式,要证明AD平分△PQD的面积,只需证明O是PQ的中点.根据题意可以证明BP=CN,则PD=DN,再根据平行线等分线段定理即可证明; (4)根据(1)中求得的值即可分情况进行讨论. 【解析】 (1), 当Q在AB上时,显然PQ不垂直于AC, 当Q在AC上时,由题意得,BP=x,CQ=2x,PC=4-x; ∵AB=BC=CA=4, ∴∠C=60°; 若PQ⊥AC,则有∠QPC=30°, ∴PC=2CQ, ∴4-x=2×2x, ∴x=; 当x=(Q在AC上)时,PQ⊥AC; 如图:① 当PQ⊥AB时,BP=x,BQ=,AC+AQ=2x; ∵AC=4, ∴AQ=2x-4, ∴2x-4+x=4, ∴x=, 故x=时PQ⊥AB; (2)y=-x2+x, 如图②,当0<x<2时,P在BD上,Q在AC上,过点Q作QN⊥BC于N; ∵∠C=60°,QC=2x, ∴QN=QC×sin60°=x; ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=CD=BC=2, ∴DP=2-x, ∴y=PD•QN=(2-x)•x=-x2+x; (3)当0<x<2时,在Rt△QNC中,QC=2x,∠C=60°; ∴NC=x, ∴BP=NC, ∵BD=CD, ∴DP=DN; ∵AD⊥BC,QN⊥BC, ∴AD∥QN, ∴OP=OQ, ∴S△PDO=S△DQO, ∴AD平分△PQD的面积; (4)显然,不存在x的值,使得以PQ为直径的圆与AC相离, 当x=或时,以PQ为直径的圆与AC相切, 当0≤x<或<x<或<x≤4时,以PQ为直径的圆与AC相交.
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考点分析:
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(1)如图1,直线MN与⊙O相交,且与⊙O的直径AB垂直,垂足为P,过点P的直线与⊙O交于C、D两点,直线AC交MN于点E,直线AD交MN于点F.求证:PC•PD=PE•PF.
(2)如图2,若直线MN与⊙O相离.(1)中的其余条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)在图3中,直线MN与⊙O相离,且与⊙O的直径AB垂直,垂足为P.
①请按要求画出图形:画⊙O的割线PCD(PC<PD),直线BC与MN交于E,直线BD与MN交于F.
②能否仍能得到(1)中的结论?请说明理由.
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在坐标平面内,半径为R的⊙O与x轴交于点D(1,0)、E(5,0),与y轴的正半轴相切于点B.点A、B关于x轴对称,点P(a,0)在x的正半轴上运动,作直线AP,作EH⊥AP于H.
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(2)△POA和△PHE随点P的运动而变化,若它们全等,求a的值;若给定a=6,试判定直线AP与⊙C的位置关系(要求说明理由).

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如图,P为正比例函数y=manfen5.com 满分网x图象上的一个动点,⊙P的半径为3,设点P的坐标为(x,y).
(1)求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标.
(2)请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围.

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已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O,过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D,且DA:AB=1:2.
(1)求∠CDB的度数;
(2)在切线DC上截取CE=CD,连接EB,判断直线EB与⊙O的位置关系,并证明;
(3)利用图中已标明的字母,连接线段,找出至少5对相似三角形(不包含全等,不需要证明).(多写者给附加分,附加分不超过3分,计入总分,但总分不超过120分.)

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设边长为2a的正方形的中心A在直线l上,它的一组对边垂直于直线l,半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动,点A、O间距离为d.
(1)如图①,当r<a时,根据d与a、r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表:
 d、a、r之间关系 公共点的个数
 d>a+r

 d=a+r
 
 a≤d<a+r 
 d=a-r 
 d<a-r 
所以,当r<a时,⊙O与正方形的公共点的个数可能有______个;
(2)如图②,当r=a时,根据d与a、r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表:
d、a、r之间关系 公共点的个数
 d>a+r
 d=a+r 
 a≤d<a+r 
 d<a 
所以,当r=a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有______个;
(3)如图③,当⊙O与正方形有5个公共点时,试说明r=manfen5.com 满分网a;
(4)就r>a的情形,请你仿照“当…时,⊙O与正方形的公共点个数可能有______个”的形式,至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论.
(注:第(4)小题若多给出一个正确结论,则可多得2分,但本大题得分总和不得超过12分).
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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