Question

如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．
（1）求证：PM=PN；
（2）若BD=4，PA=AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

Answer

（1）连接OM，MP是圆的切线，OM⊥PM，由角的等量关系可证∠DMP=∠MNP，由此得证．
（2）设BC交OM于E，已知直径BD的长，即可得到半径OA、OM的长，根据PA、OA的比例关系，可求出PA、PO的长，通过证△POM∽△OBE，根据相似三角形所得比例线段即可求出BE的长，从而根据垂径定理求出BC的值．
（1）证明：连接OM，
∵MP是圆的切线，∴OM⊥PM，
∴∠OMD+∠DMP=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠OND+∠ODM=90°，
∵∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD，
∴∠DMP=∠MNP，
∴PM=PN．

（2）【解析】
设BC交OM于E，
∵BD=4，OA=OB=BD=2，
∴PA=3，
∴PO=5；
∵BC∥MP，OM⊥MP，
∴OM⊥BC，∴BE=BC；
∵∠BOM+∠MOP=90°，
在直角三角形OMP中，
∠MPO+∠MOP=90°，
∴∠BOM=∠MPO；
∵∠BEO=∠OMP=90°，
∴△OMP∽△BEO，
∴，即=，
解得：BE=，
∴BC=．