Question

已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．
（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①______，②______，③______，④______（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；
（2）∠A=30°，CD=，求⊙O的半径r．

Answer

（1）由BC是⊙O的切线，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根据DE∥BC和垂径定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等边对等角得∠E=∠EDB；再由圆周角定理得∠A=∠E，可证△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；
（2）当∠A=30°时BD=r，∠C=60°，再根据Rt△BCD中tan60°可求得r=2．
【解析】
（1）BC⊥AB，AD⊥BD，DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD，∠BDF=∠BEF，∠A=∠E，DE∥BC等；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠A=30°，
∴BD=ABsinA=ABsin30°=AB=r；
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBA=90°，
∴∠C=60°；
在Rt△BCD中，
CD=，
∴=tan60°，
∴r=2．