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如图,在平面直角坐标系xoy中,M是x轴正半轴上一点,⊙M与x轴的正半轴交于A,...

如图,在平面直角坐标系xoy中,M是x轴正半轴上一点,⊙M与x轴的正半轴交于A,B两点,A在B的左侧,且OA,OB的长是方程x2-12x+27=0的两根,ON是⊙M的切线,N为切点,N在第四象限.
(1)求⊙M的直径;
(2)求直线ON的解析式;
(3)在x轴上是否存在一点T,使△OTN是等腰三角形?若存在请在图2中标出T点所在位置,并画出△OTN(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不证明,不求T的坐标);若不存在,请说明理由.
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(1)易得一元二次方程的解,让OB-OA,得到直径. (2)设出正比例函数解析式,连接圆心和切点,NC⊥OM,求得点N坐标,代入正比例函数即可. (3)△OTN是等腰三角形那么应分OT=ON,OT=TN,TN=ON,三种情况进行分析. 【解析】 (1)解方程x2-12x+27=0,得x1=9,x2=3, ∵A在B的左侧, ∴OA=3,OB=9, ∴AB=OB-OA=6, ∴OM的直径为6(1分). (2)过N作NC⊥OM,垂足为C,连接MN,则MN⊥ON. ∵sin∠MON=, ∴∠MON=30°, 又cos∠MON=, ∴ON=OM×cos30°=3; 在Rt△OCN中, OC=ON•cos30°=3, CN=ON•sin30°=3, ∴N的坐标为(3分), (用其它方法求N的坐标,只要方法合理,结论正确,均可给分). 设直线ON的解析式为y=kx, ∴-=k, ∴k=-, ∴直线ON的解析式为(4分). (3)存在. T1(3,0),T2(-3,0),T3(9,0),T4(3,0) 如图2,T1,T2,T3,T4为所求作的点,△OT1N,△OT2N,△OT3N,△OT4N为所求等腰三角形. (每作出一种图形给一分)(8分).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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