Question

已知，如图（甲），正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不运动到M和C，以AB为直径做⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．
（1）求四边形CDFP的周长；
（2）试探索P在线段MC上运动时，求AF•BP的值；
（3）延长DC、FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（如图乙），是否存在点P，使△EFO∽△EHG？如果存在，试求此时的BP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据切线的性质，将所求四边形CDFP的边转化为已知正方形ABCD的边，即可求得；
（2）根据切线的性质，将所求AF，BP转化为直角△FOP的斜边FP，再由直角三角形的性质OE2=EF•EP，即可求得；
（3）要△EFO∽△EHG，必须∠EHG=∠EFO=2∠EOF=60°，在直角△OBP中，由正切定理可求出BP的长．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°
∴AF、BP都是⊙O的切线
又∵PF是⊙O的切线
∴FE=FA，PE=PB
∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB=2×3=6；

（2）连接OE，
∵PF是⊙O的切线
∴OE⊥PF
在Rt△AOF和Rt△EOF中
∵AO=EO，OF=OF
∴Rt△AOF≌Rt△EOF
∴∠AOF=∠EOF
同理∠BOP=∠EOP
∴∠EOF+∠EOP=180°=90°，∠FOP=90°
即OF⊥OP
∴AF•BP=EF•PE=OE2=1；

（3）存在．
当∠G=30°时．∠GFD=60°．
∵∠EOF=∠AOF
∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF
∴当∠EFO=∠EHG=2∠EOF，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG
此时∠EOF=30°，∠BOP=∠EOP=90°-30°=60°
∴BP=OB•tan60°=．