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如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,CA=4,∠ABC的角平分线...

如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,CA=4,∠ABC的角平分线BD交AC于点D,点E是线段AB上的一点,以BE为直径的圆O过点D.
(1)求证:AC是圆O的切线;
(2)求AE的长.

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(1)连接OD,证OD⊥AC即可;由于OB=OD,且BD平分∠ABC,利用角平分线的定义以及等边对等角可求得∠ODB=∠OBD=∠CBD,由此可证得OD∥BC,而BC⊥AC,即OD⊥AC,由此得证. (2)根据∠DAO的正切值,可求出AD、OD的比例关系,可用未知数表示出两者的长,进而可求得BE、AE的表达式,由于AE+BE=AB=5,由此可求出未知数的值,也就得到了AE的长. (1)证明:连接OD, ∵OD=OB, ∴∠ODB=∠OBD; ∵BD平分∠ABC, ∴∠OBD=∠CBD,即∠ODB=∠CBD, ∴OD∥BC, ∵BC⊥AC, ∴OD⊥AC; 又∵点D在⊙O上, ∴AC是⊙O的切线. (2)【解析】 Rt△ABC中,AC=4,BC=3,则AB=5; 在Rt△AOD中,设AD=4x,则OD=3x,OA=5x; ∵OE=OD=3x, ∴AE=OA-OE=2x, 由于AB=AE+BE=2x+6x=5,故x=, ∴AE=2x=.
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考点分析:
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如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D,求证:AC与⊙O相切.

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已知:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的点O为圆心,OB的长为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D.
(1)求证:BC=CD;
(2)求证:∠ADE=∠ABD;
(3)设AD=2,AE=1,求⊙O直径的长.

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如图,圆O是△ABC的外接圆,AB=AC,过点A作AP∥BC,交BO的延长线于点P.
(1)求证:AP是圆O的切线;
(2)若圆O的半径R=5,BC=8,求线段AP的长.

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如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,⊙O与BC交于点D,过点D作AC的垂线,垂足为E.
(1)证明:DE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的直径是5,BC=6,求CE的长.

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如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB2=AF•AC,cos∠ABD=manfen5.com 满分网,AD=12.
(1)求证:△ANM≌△ENM;
(2)求证:FB是⊙O的切线;
(3)证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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