Question

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于F，直线CF交直线AB于点G．
（1）求证：点F是BD的中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线．

Answer

（1）易证得△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，那么对应线段成比例，由E为CH的中点，可证得DF=FB．
（2）连接OC，证∠OCF=90°即可，注意使用（1）中得到的结论得到CF=FB，得到相应的角相等，半径相等得到的对应角相等．
证明：（1）∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF．（1分）
∴．
∵HE=EC，
∴BF=FD．（3分）

（2）连接CB、OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵F是BD中点，CF=DF=BF，
∴∠BCF=∠CAB=∠CBF=90°-∠CBA=∠CBF=∠CAB=∠ACO．
∴∠OCF=∠OCB+∠BCF=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，
∴CG是⊙O的切线．（6分）