Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若OC∥AD，OC交BD于点E，BD=6，CE=4，求AD的长．

Answer

（1）要证BC与⊙O相切；只需证明OB⊥BC即可，根据角之间的互余关系易得证明；
（2）根据平行线的性质可得OC⊥BD，进而可得△OBE∽△BCE，可得出比例关系式，代入数据即可得到答案．
（1）证明：∵AB是直径，
∴∠D=90°，AD⊥BD．（1分）
∴∠A+∠ABD=90°．（2分）
又∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°．
∴OB⊥BC．（3分）
∵OB是半径，
∴BC与⊙O相切．（4分）

（2）【解析】
∵OC∥AD，∠D=90°，
∴∠OEB=∠D=90°．
∴OC⊥BD．（5分）
∴BE=DE=BD=3．（6分）
∵BE⊥OC，∠OBC=90°，
∴△OBE∽△BCE．（7分）
∴即，
∴．（9分）
∵OA=OB，DE=EB，
∴AD=2EO=．（10分）