Question

如图，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，形如矩形量角器的半圆O的直径DE=12cm，矩形DEFG的宽EF=6cm，矩形量角器以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上，设运动时间为x（s），矩形量角器和△ABC的重叠部分的面积为S（cm²）．当x=0（s）时，点E与点C重合．（图（3）、图（4）、图（5）供操作用）．
（1）当x=3时，如图（2），S=______cm²，当x=6时，S=______cm²，当x=9时，S=______cm²；
（2）当3＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；
（3）当6＜x＜9时，求S关于x的函数关系式；
（4）当x为何值时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

Answer

当3＜x＜6时，重叠部分是不规则的四边形，不能直接用x表示，要采用面积的分割法来求，先求S△ABC，S△AMN，再求S△BEH，然后求重叠部分的面积；当6＜x＜9时，重叠部分也是不规则的四边形，也采用面积的分割法来求，先求S△ABC，S△AHM，再
求S四边形HGDC，这样才能求出S与x的函数关系式
【解析】
（1）36，54，18（7分）

（2）如图，设矩形DEFG与斜边AB的交点分别为N、H，与直角边AC的交点为M；
∵BE=12-2x，AM=12-6=6，（4分）
∴S=S△ABC-S△AMN-S△BHE=×12×12-×6×6-×（12-2x）2=-2x2+24x-18，
∴当3＜x＜6时，S=-2x2+24x-18．（6分）

（3）如图，

设矩形DEFG与斜边AB的交点为M，延长FG交AC于点H；
∵AH=12-6=6，HG=2x-12，（7分）
∴S=S△ABC-S△AHM-S矩形HCDG=×12×12-×6×6-×6×（2x-12）=-12x+126，
∴当6＜x＜9时，S=-12x+126．（9分）

（4）如图，
①过点O作OD⊥AB于点D，由题意得OD=6；
∵∠ABC=45°，∠ODB=90°，
∴OB==6，
∴x1=（秒）；（10分）
②过点O作OE⊥AB，交AB的延长线于点E，由题意得OE=6；
∵∠OBE=45°，∠OEB=90°，
∴OB==6，
∴x2=，（秒）
故当x等于（9-）秒或（9+）秒时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切．（12分）