Question

如图，已知AB是⊙O₁的直径，点C是⊙O₁上不同于A，B的一点，以线段AC为直径作⊙O₂交AB于点D，过点D作DE∥BC，交⊙O₂于点E，交AC于点F．求证：
（1）EC是⊙O₁的切线；
（2）CE²=EF•BC．

Answer

（1）要证EC是⊙O1的切线，只要证明∠O1CB=90°即可．
（2）连接CD，由Rt△CFD∽Rt△BDC得CD2=FD•BC，由垂径定理知，CE=CD，EF=FD，故有CE2=EF•BC
证明：（1）连接O1C，则∠O1CB=∠B，
∵DE∥BC，
∴∠EDA=∠B．
∵∠EDA=∠ECA，
∴∠ECA=∠O1CB．
∵AB是⊙O1的直径，
∴∠ACO1+∠O1CB=90°．
∵∠ECA=∠O1CB，
∴∠ACO1+∠ECA=90°．
∴EC是⊙O1的切线．

（2）连接CD，则∠CDA=∠CDB=90°，
∵DE∥BC，∠ACB=90°，
∴∠CFD=∠ACB=90°．
∵AC是⊙O2的直径，
∴AC垂直平分ED．
∴EF=FD，CE=CD．
∵∠FDC=∠DCB，∠CFD=∠BDC=90°，
∴△CFD∽△BDC．
∴．
∴CD2=FD•BC．
∵EF=FD，CE=CD，
∴CE2=EF•BC．