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如图所示,在直角梯形ABCD中,∠D=∠C=90°,AB=4,BC=6,AD=8...

如图所示,在直角梯形ABCD中,∠D=∠C=90°,AB=4,BC=6,AD=8,点P、Q同时从A点出发,分别做匀速运动,其中点P沿AB、BC向终点C运动,速度为每秒2个单位,点Q沿AD向终点D运动,速度为每秒1个单位,当这两点中有一个点到达自己的终点时,另一个点也停止运动,设这两个点从出发运动了t秒.
(1)动点P与Q哪一点先到达自己的终点?此时t为何值;
(2)当O<t<2时,写出△PQA的面积S与时间t的函数关系式;
(3)以PQ为直径的圆能否与CD相切?若有可能,求出t的值或t的取值范围;若不可能,请说明理由.

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(1)P点的运动的总路程为AB+BC=10,Q点的总路程为AD=8,可根据它们的速度求出各自到达终点时用的时间,进行比较即可; (2)要求三角形PQA的面积就要求出三角形的底和高,底AQ可以用时间表示出来,高可以根据AP和∠A的度数来求;如果过B引AD边的垂线,那么∠A的余弦值就是(AD-BC)÷AB,据此可求出∠A的度数,也就能求出三角形APQ的高;然后根据三角形的面积公式即可得出关于S,t的函数关系式; (3)当P在AB上时,即0<t<2,显然不可能和CD相切. 当P在BC上时,即2≤t≤5时,如果圆与CD相切,设切点为K,连接圆心和K,这条线段就是直角梯形DPOD的中位线,由此可用CP,DO表示出OK,也就可以用含t的式子表示出圆的直径;如果过P引AD的垂线,那么CP,DQ的差,CD,PQ这三者恰好可以根据勾股定理来得出关于t的方程,解方程后即可求出t的值. 【解析】 (1)∵当P到c点时,t=5(秒), 当Q到D点时,t=8(秒), ∴点P先到达终点,此时t为5秒; (2)如图,作BE⊥AD于点E,PF⊥AD于点F. AE=2,在Rt△ABE中∠A=60°,PF=t, ∴s=t2(0<t<2); (3)当0<t<2时,以PO为直径的圆与CD不可能相切. 当2≤t≤5时,设以PQ为直径的⊙O与CD相切于点K, 则有PC=10-2t,DQ=8-t,OK⊥DC. ∵OK是梯形PCDQ的中位线, ∴PQ=20K=PC+DO=18-3t. 在直角梯形PCDQ中,PO2=CD2+(DO-CP)2, 解得:t=. ∵>5,不合题意舍去. 2<<5, 因此,当t=时,以PQ为直径的圆与CD相切.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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