Question

如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．

Answer

（1）求证：MN是⊙O的切线，就可以证明∠NMC=90°
（2）连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径，根据△NMC∽△BOC就可以求出MN的长．
（1）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G
∴∠OBC=∠ABC，∠DCB=2∠DCM（1分）
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°（2分）
∵MN∥OB
∴∠NMC=∠BOC=90°
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径
∴MN是⊙O的切线（4分）

（2）【解析】
连接OF，则OF⊥BC（5分）
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC===10，
∵S△BOC=•OB•OC=•BC•OF
∴6×8=10×OF
∴0F=4.8cm
∴⊙O的半径为4.8cm（6分）
由（1）知，∠NCM=∠BCO，∠NMC=∠BOC=90°
∴△NMC∽△BOC（7分）
∴，即=，
∴MN=9.6（cm）．（8分）