Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6．
（1）求边AD、BC的长；
（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer

过D作DF⊥BC于F，设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，根据勾股定理就得到一个关于x的方程，就可以解得AD的长；△ADP和△BCP相似，有△ADP∽△BCP和△ADP∽△BPC两种情况进行讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出AP的长．
【解析】
（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，
在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC-AD=6，
∴DC2=62+82=100，即DC=10．（1分）
设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，
∴x+（x+6）=10．
∴x=2．
∴AD=2，BC=2+6=8．（4分）
方法2：连OD、OE、OC，
由切线长定理可知∠DOC=90°，AD=DE，CB=CE，
设AD=x，则BC=x+6，
由射影定理可得：OE2=DE•EC．（2分）
即：x（x+6）=16，
解得x1=2，x2=-8，（舍去）
∴AD=2，BC=2+6=8．（4分）

（2）存在符合条件的P点．
设AP=y，则BP=8-y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：
①△ADP∽△BCP时，∴y=；（6分）
②△ADP∽△BPC时，∴y=4．（7分）
故存在符合条件的点P，此时AP=或4．（8分）