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如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB...

如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r.
(1)若∠E=30°,求证:BC•BD=r•ED;
(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.

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(1)取AB中点O,由题意得△ABC是Rt△,O是外接圆心,连接CO,可证得OC∥DB,则,即OC•DE=CE•BD;作CF⊥BE,然后证得∠CBE=∠E=30°,根据等角对等边的性质可得CE=BC,则可得BC•BD=r•ED; (2)根据勾股定理求出BE,设CE=x,则BC=x,在Rt△BCD中,根据勾股定理求出x,再推得CE为圆的切线,利用切割线定理求出AE的值. (1)证明:取AB中点O,△ABC是Rt△,AB是斜边,O是外接圆心,连接CO, ∴BO=CO,∠BCO=∠OBC, ∵BC是∠DBE平分线, ∴∠DBC=∠CBA, ∴∠OCB=∠DBC, ∴OC∥DB,(内错角相等,两直线平行), ∴,把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC, ∵OC=r, ∴BD•CE=DE•r. ∵∠D=90°,∠E=30°, ∴∠DBE=60°, ∴∠CBE=∠DBE=30°, ∴∠CBE=∠E, ∴CE=BC, ∴BC•BD=r•ED. (2)【解析】 BD=3,DE=4,根据勾股定理,BE=5, 设圆的半径长是r,则OC=OA=r, ∵OC∥DB, ∴△OCE∽BDE, ∴==,即== 解得:OE=r,CE=r. CH==r, ∵BC平分∠DBE交DE于点C,则△BDC≌△BHC, ∴BH=BD=3, 则HE=2. ∴CD=CH=r. 在直角△CHE中,根据勾股定理得:CH2+EH2=CE2, 即(r)2+22=(r)2,解得:r=, 则AE=BE-2r=5-=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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