Question

已知：如图，圆O₁与圆O₂外切于点P，经过圆O₁上一点A作圆O₁的切线交圆O₂于B、C两点，直线AP交圆O₂于点D，连接DC、PC．
（1）求证：DC²=DP•DA；
（2）若圆O₁与圆O₂的半径之比为1：2，连接BD，BD=4，PD=12，求AB的长．

Answer

（1）相切两圆常作的辅助线是：两圆的公切线，因此过点P作两圆的内公切线EP交AB于点F，然后证得△CDP∽△ADC，可证DC2=DP•DA；
（2）求AB的长时，由（1）知△CDP∽△ADC，可得．还可得出DP=2PA，DC=BD．再根据切割线定理得：AP•AD=AB•AC，由此可求出AB的长．
（1）证明：过点P作两圆的内公切线EP交AB于点F，
∵FE、CA都与圆O1相切，
∴FP=FA，
∴∠FAP=∠FPA；
∵∠FPA=∠EPD=∠DCP，
∴∠FAP=∠DCP；
∵∠PDC=∠CDA，
∴△CDP∽△ADC；
∴；
∴DC2=DP•DA．

（2）【解析】
连接O1O2，则点P在O1O2上，连接O1A、O2D，
∵O1A=O1P，
∴∠O1AP=∠O1PA；
又∵O2P=O2D，
∴∠O2DP=∠O2PD，
∴∠O1AP=∠O2DP；
∴O1A∥O2D，
∴=；
∴DP=2PA，
∵DP=12
∴PA=6，
由（1）中△CDP∽△ADC，得∠DCB=∠APC，；
∵∠APC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC；
∴DC=BD=4；
∵DP=12，AP=4，
∴AD=AP+DP=16；
∴，
∴AC=48．
由AP•AD=AB•AC，得4×12=48AB，
∴AB=．