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已知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重...

已知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合.
(1)如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G(如图1),AF=manfen5.com 满分网,求DE的长;
(2)如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G(如图2),△AED的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长.
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(1)根据AF,AD的长可以求得DF的长,根据折叠知EF=AF,再根据勾股定理即可计算得到DE的长; (2)根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点,则折痕与AE的交点O即是其外接圆的圆心.设DE=x,根据三角形ADE的中位线定理求得OM=x,进一步表示出ON的长.根据直线和圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径得到AE=2ON,在直角三角形ADE中,根据勾股定理列方程求解.再根据直角三角形FOE相似于直角三角形ADE,求得OF的长,从而根据轴对称的性质得到FG=2OF. 【解析】 (1)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,AF=,∠D=90°. 根据轴对称的性质,得EF=AF=. ∴DF=AD-AF=. 在Rt△DEF中,DE=.(3分) (2)设AE与FG的交点为O. 根据轴对称的性质,得AO=EO. 取AD的中点M,连接MO. 则MO=DE,MO∥DC. 设DE=x,则MO=x, 在矩形ABCD中,∠C=∠D=90°, ∴AE为△AED的外接圆的直径,O为圆心. 延长MO交BC于点N,则ON∥CD. ∴∠CNM=180°-∠C=90°. ∴ON⊥BC,四边形MNCD是矩形. ∴MN=CD=AB=2.∴ON=MN-MO=2-x. ∵△AED的外接圆与BC相切, ∴ON是△AED的外接圆的半径. ∴OE=ON=2-x,AE=2ON=4-x. 在Rt△AED中,AD2+DE2=AE2, ∴12+x2=(4-x)2. 解这个方程,得x=.(6分) ∴DE=,OE=2-x=. 根据轴对称的性质,得AE⊥FG. ∴∠FOE=∠D=90°.可得FO=. 又AB∥CD,∴∠EFO=∠AGO,∠FEO=∠GAO. ∴△FEO≌△GAO.∴FO=GO. ∴FG=2FO=. ∴折痕FG的长是.(9分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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