Question

在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b，P是边CD上异于点C、D的任意一点．
（1）若a=2b，当点P在什么位置时，△APB与△BCP相似？（不必证明）
（2）若a≠2b，①判断以AB为直径的圆与直线CD的位置关系，并说明理由；②是否存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似？（不必证明）

Answer

（1）根据已知及相似三角形的判定方法可求得，P只能是CD的中点．
（2）a≠2b，则有a＞2b，a＜2b，分情况讨论．根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系可以判断以AB为直径的圆与直线CD的位置关系．要使△ABP与△ADP相似，因为在△ADP中，∠D=90°，则△ABP必定是直角三角形，根据直径所对的圆周角是直角，得出答案．
【解析】
（1）因为P在边CD上，则在△BCP中，必有∠C=90°，因为两三角形相似时，形状一定相同，故△APB必定是直角三角形，又P点异于C，D，所以∠ABP≠90°，∠BAP≠90°，只能∠APB=90°，此时P只能是CD的中点．（2分）

（2）当a＞2b时：
①以AB为直径的圆与直线CD相交（3分）
理由是：∵a＞2b
∴b＜a
∴AB的中点（圆心）到CD的距离b小于半径a
∴CD与圆相交．（4分）

②当点P为CD与圆的交点时，△ABP∽△PAD，即存在点P（两个），使以A、B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似．（5分）
当a＜2b时：
1AB为直径的圆与直线CD相离．（6分）
理由是：∵a＜2b
∴b＞a
∴AB的中点（圆心）到CD的距离b大于半径a
∴CD与圆相离（7分）
②由①可知，点P始终在圆外，△ABP始终为锐角三角形
∴不存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似．（9分）