如图,已知直角三角形ABC,
(Ⅰ)试作出经过点A,圆心O在斜边AB上,且与边BC相切于点E的⊙O及切点E和圆心O(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明);
(Ⅱ)设(Ⅰ)中所作的⊙O与边AB交于异于点A的另一点D.
求证:
(1)
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;
(2)EC•BE=AC•BD.
考点分析:
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如图1,线段PB过圆心O,交圆O于A,B两点,PC切圆O于点C,作AD⊥PC,垂足为D,连接AC,BC.
(1)写出图1中所有相等的角(直角除外),并给出证明;
(2)若图1中的切线PC变为图2中割线PCE的情形,PCE与圆O交于C,E两点,AE与BC交于点M,AD⊥PE,写出图2中相等的角(写出三组即可,直角除外);
(3)在图2中,证明:AD•AB=AC•AE.
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如图,已知⊙O的直径AB=2,直线m与⊙O相切于点A,P为⊙O上一动点(与点A、点B不重合),PO的延长线与⊙O相交于点C,过点C的切线与直线m相交于点D.
(1)求证:△APC∽△COD;
(2)设AP=x,OD=y,试用含x的代数式表示y;
(3)试探索x为何值时,△ACD是一个等边三角形.
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如图,B为线段AD上一点,△ABC和△BDE都是等边三角形,连接CE并延长,交AD的延长线于F,△ABC的外接圆⊙O交CF于点M.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)求证:AC
2=CM•CF;
(3)过点D作DG∥BE交EF于点G,过G作GH∥DE交DF于点H,则易知△DHG是等边三角形;设等边△ABC、△BDE、△DHG的面积分别为S
1、S
2、S
3,试探究S
1、S
2、S
3之间的数量关系,并说明理由.
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在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b,P是边CD上异于点C、D的任意一点.
(1)若a=2b,当点P在什么位置时,△APB与△BCP相似?(不必证明)
(2)若a≠2b,①判断以AB为直径的圆与直线CD的位置关系,并说明理由;②是否存在点P,使以A、B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似?(不必证明)
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已知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合.
(1)如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G(如图1),AF=
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,求DE的长;
(2)如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G(如图2),△AED的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长.
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