Question

已知⊙O₁和⊙O₂的半径都等于1，O₁O₂=5，在线段O₁O₂的延长线上取一点O₃，使O₂O₃=3，以O₃为圆心，R=5为半径作圆．

（1）如图1，⊙O₃与线段O₁O₂相交于点P₁，过点P₁分别作⊙O₁和⊙O₂的切线P₁A₁、P₁B₁（A₁、B₁为切点），连接O₁A₁、O₂B₁，求P₁A₁：P₁B₁的值；
（2）如图2，若过O₂作O₂P₂⊥O₁O₂交O₃于点P₂，又过点P₂分别作⊙O₁和⊙O₂的切线P₂A₂、P₂B₂（A₂、B₂为切点），求P₂A₂：P₂B₂的值；
（3）设在⊙O₃上任取一点P，过点P分别作⊙O₁和⊙O₂的切线PA、PB（A、B为切点），由（1）（2）的探究，请提出一个正确命题．（不要求证明）

Answer

（1）根据⊙O1和⊙O2的半径都等于1，O1O2=5，O2O3=3，⊙O3的半径为5，可求出O1P1，O2P1的长，由于P1A1、P1B1分别为两圆的切线，故可根据勾股定理求出P1A1：P1B1的值；
（2）连接O1A2，O2B2，P2O1，P2O3在Rt△O2O3P2中，根据勾股定理P2A2：P2B2的值；
（3）根据（1）（2）的结论即可解答．
【解析】
（1）在图1中，由已知A为切点，得O1A1⊥P1A1．
∴△O1A1P1是直角三角形．
同理可得△O2B1P1是直角三角形．
∴P1A1=，P1B1=．
∴P1A1：P1B1=：=2：．

（2）在图2中，连接O1A2，O2B2，P2O1，P2O3．
在Rt△O2O3P2中，P2O2=4，P2B2=．
同理可解，得P2O1=，P2A2=．
∴P2A2：P2B2=：=：=2：．

（3）提出的命题是开放性的，只要正确都可以．
如：1．设在⊙O3上任取一点P，过点P分别作⊙O1、⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点）．
则有PA：PB=2：或PA：PB是一个常数；
2．在平面上任取一点P，过点P分别作⊙O1、⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点），
若PA：PB=：，则点P在⊙O3上．