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如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠C=60°,AD=3cm,...

如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠C=60°,AD=3cm,BC=9cm.⊙O1的圆心O1从点A开始沿折线A-D-C以1cm/s的速度向点C运动,⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以manfen5.com 满分网cm/s的速度向点A运动,⊙O1半径为2cm,⊙O2的半径为4cm,若O1、O2分别从点A、点B同时出发,运动的时间为t.
(1)请求出⊙O2与腰CD相切时t的值;
(2)在0s<t≤3s范围内,当t为何值时,⊙O1与⊙O2外切?

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(1)先设⊙O2运动到E与CD相切,且切点是F;连接EF,并过E作EG∥BC,交CD于G,再过G作GH⊥BC于H,那么就得到直角三角形EFG和矩形GEBH. 要求⊙O2与CD相切的时间,可以先求出⊙O2从B到E所走的路程BE,即GH的长,再除以运动速度即可. 那么求GH的值就是关键,由∠C=60°,可以知道∠CGH=30°,那么∠FGE=60°. 在Rt△EFG中,可以利用勾股定理求出EG的值,那么CH=BC-BH=BC-EG.在Rt△CGH中,利用60°的角的正切值可求出GH的值,此问就可解了. (2)因为s<t<3s,所以O1一定在AD上,连接O1O2. 利用勾股定理可得到关于t的一元二次方程,求解即可,根据要求,可选择t的值. 【解析】 (1)如图所示,设点O2运动到点E处时,⊙O2与腰CD相切. 过点E作EF⊥DC,垂足为F,则EF=4cm. 方法一:作EG∥BC,交DC于G,作GH⊥BC,垂足为H. 由直角三角形GEF中,∠EGF+∠GEF=90°, 又∠EGF+∠CGH=90°, ∴∠GEF=∠CGH=30°, 设FG=xcm,则EG=2xcm,又EF=4cm, 根据勾股定理得:x2+42=(2x)2,解得x=, 则HB=GE=cm,又在直角三角形CHG中,∠C=60°, ∴CH=(9-)cm, 则EB=GH=CHtan60°=cm. 所以,t=()秒. 方法二:延长EA、FD交于点P.通过相似三角形,也可求出EB长. 方法三:连接ED、EC,根据面积关系,列出含有t的方程,直接求t. (2)由于0s<t≤3s,所以,点O1在边AD上. 如图连接O1O2,则O1O2=6cm. 由勾股定理得, t2+(6-t)2=62, 即t2-9t+18=0. 解得:t1=3,t2=6(不合题意,舍去). 所以,经过3秒,⊙O1与⊙O2外切.
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考点分析:
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如图1,已知Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=5.过点A作AE⊥AB,且AE=15,连接BE交AC于点P.
(1)求PA的长;
(2)以点A为圆心,AP为半径作⊙A,试判断BE与⊙A是否相切,并说明理由;
(3)如图2,过点C作CD⊥AE,垂足为D.以点A为圆心,r为半径作⊙A;以点C为圆心,R为半径作⊙C.若r和R的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切,且使D点在⊙A的内部,B点在⊙A的外部,求r和R的变化范围.
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已知点P在线段AB上,点O在线段AB延长线上.以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点.
(1)如图,如果AP=2PB,PB=BO.求证:△CAO∽△BCO;
(2)如果AP=m(m是常数,且m>1),BP=1,OP是OA,OB的比例中项.当点C在圆O上运动时,求AC:BC的值(结果用含m的式子表示);
(3)在(2)的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围.
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已知⊙O1和⊙O2的半径都等于1,O1O2=5,在线段O1O2的延长线上取一点O3,使O2O3=3,以O3为圆心,R=5为半径作圆.
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(1)如图1,⊙O3与线段O1O2相交于点P1,过点P1分别作⊙O1和⊙O2的切线P1A1、P1B1(A1、B1为切点),连接O1A1、O2B1,求P1A1:P1B1的值;
(2)如图2,若过O2作O2P2⊥O1O2交O3于点P2,又过点P2分别作⊙O1和⊙O2的切线P2A2、P2B2(A2、B2为切点),求P2A2:P2B2的值;
(3)设在⊙O3上任取一点P,过点P分别作⊙O1和⊙O2的切线PA、PB(A、B为切点),由(1)(2)的探究,请提出一个正确命题.(不要求证明)
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张宇同学是一名天文爱好者,他通过查阅资料得知:地球、火星的运行轨道可以近似地看成是以太阳为圆的两个同心圆,且这两个同心圆在同一平面上(如图所示).由于地球和火星的运行速度不同,所以二者的位置不断发生变化.当地球、太阳和火星三者处在一条直线上,且太阳位于地球、火星中间时,称为“合”;当地球、太阳和火星三者处在一条直线上,且地球于太阳与火星中间时,称为“冲”.另外,从地球上看火星与太阳,当两条视线互相垂直时,分别称为“东方照”和“西方照”.已知地球距太阳15(千万千米),火星距太阳20.5(千万千米).
(1)分别求“合”、“冲”、“东方照”、“西方照”时,地球与火星的距离(结果保留准确值);
(2)如果从地球上发射宇宙飞船登上火星,为了节省燃料,应选择在什么位置时发射较好,说明你的理由.
(注:从地球上看火星,火星在地球左、右两侧时分别叫做“东方照”、“西方照”.)

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(2)问点A出发后多少秒两圆相切?
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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