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已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8. (Ⅰ)如图①,若半径...

已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.
(Ⅰ)如图①,若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆,求r1
(Ⅱ)如图②,若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切,且⊙O1与AC、AB相切,⊙O2与BC、AB相切,求r2
(Ⅲ)如图③,当n大于2的正整数时,若半径rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切,且⊙O1与AC、BC相切,⊙On与BC、AB相切,⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙On-1均与AB边相切,求rnmanfen5.com 满分网
(I)连接三角形的内心和三角形的各个顶点,根据三角形的总面积等于分割成的三个小三角形的面积,进行计算; (II)连接两圆的圆心和每个圆的圆心和三角形的三个顶点,把大三角形分割成了三个三角形和一个梯形,根据三角形的总面积等于四部分的面积的和,进行计算; (III)连接第一个圆和最后一个圆的圆心,以及两个圆的圆心和三角形的三个顶点,根据(II)的思路进行计算. 【解析】 (I)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8, ∴AB==10. 如图1,设⊙O1与Rt△ABC的边AB,BC,CA分别切于点D,E,F. 连接O1D,O1E,O1F,AO1,BO1,CO1. 于是O1D⊥AB,O1E⊥BC,O1F⊥AC. ,,,. 又∵, ∴24=3r1+4r1+5r1, ∴r1=2. (II)如图2,连接AO1,BO2,CO1,CO2,O1O2,则 ,. ∵等圆⊙O1,⊙O2外切, ∴O1O2=2r2,且O1O2∥AB. 过点C作CM⊥AB于点M,交O1O2于点N,则 ,. ∴, ∴. ∵, ∴3r2+4r2+(-r2)•r2+(r2+5)r2=24, 解得r2=. (III)如图3,连接AO1,BOn,CO1,COn,O1On,则 ,. ∵等圆⊙O1,⊙O2,…,⊙On依次外切,且均与AB边相切, ∴O1,O2,…,On均在直线O1On上,且O1On∥AB, ∴O1On=(n-2)2rn+2rn=2(n-1)rn. 过点C作CH⊥AB于点H,交O1On于点K, 则. ,. ∵, ∴. 解得.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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