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问题探究: (1)如图①所示是一个半径为,高为4的圆柱体和它的侧面展开图,AB是...

问题探究:
(1)如图①所示是一个半径为manfen5.com 满分网,高为4的圆柱体和它的侧面展开图,AB是圆柱的一条母线,一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点,求蚂蚁爬行的最短路程.(探究思路:将圆柱的侧面沿母线AB剪开,它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′,则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长);
(2)如图②所示是一个底面半径为manfen5.com 满分网,母线长为4的圆锥和它的侧面展开图,PA是它的一条母线,一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点,求蚂蚁爬行的最短路程;
(3)如图③所示,在②的条件下,一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点,求蚂蚁爬行的最短路程.
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(1)蚂蚁爬行的最短路程为矩形的对角线的长度,由勾股定理可求得. (2)蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中的AA′的连线,可求得△PAA′是等边三角形,则AA′=PA=4. (3)蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中点A到PA的距离. 【解析】 (1)∵BB′=2π×=3, AB′==5. 即蚂蚁爬行的最短路程为5.(4分) (2)连接AA′,则AA′的长为蚂蚁爬行的最短路程, 设r1为圆锥底面半径,r2为侧面展开图(扇形)的半径, 则, 由题意得:,即, ∴n=60, ∴△PAA′是等边三角形, ∴最短路程为AA′=PA=4. (3)如图③所示是圆锥的侧面展开图, 过A作AC⊥PA′于点C, 则线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程. ∴AC=PA•sin∠APA'=4×sin60°=4×=, ∴蚂蚁爬行的最短距离为.
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考点分析:
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①写出点的坐标:C______;D(______);
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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