Question

如图所示，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④FH²=HE•HB，正确的是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④

Answer

由正方形的性质易证Rt△BCE≌Rt△DCF，则∠CBE=∠CDF，利用三角形内角和定理可得到∠EHD=∠BCE=90°，而BE平分∠DBC，根据等腰三角形的性质得到BH平分DF，即HD=HF，易得OH为△DBF的中位线，根据三角形中位线的性质得OH∥BF，则①正确；CH点为Rt△DCF斜边DF上的中线，得到HD=HF=HC，则∠CDH=∠DCH，可得到∠CHF=∠CDF+∠DCH=2×22.5°=45°，②正确；在Rt△DGH中，∠GDH=22.5°，tan∠GDH=tan22.5°=
GH
DG

≠
1
2

，易证得GH≠
1
4

BC，则④不正确；易证△HEC∽△HCB，则HC：HB=HE：HC，即HC2=HE•HB，由HC=HF，即可得到④正确．
【解析】
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=CB，
而FC=CE，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
而∠BEC=∠DEH，
∴∠EHD=∠BCE=90°，即BH⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴BH平分DF，即HD=HF，
而点O为正方形ABCD的中心，即OD=OB，
∴OH为△DBF的中位线，
∴OH∥BF，则①正确；
∵CH点为Rt△DCF斜边DF上的中线，
∴HD=HF=HC，
∴∠CDH=∠DCH，
而∠CBE=∠CDF=
1
2

∠DBC=22.5°，
∴∠CHF=∠CDF+∠DCH=2×22.5°=45°，则②正确；
∵GH∥CF，HD=HF，
∴DG=GC=
1
2

DC=
1
2

BC，
在Rt△DGH中，∠GDH=22.5°，
tan∠GDH=tan22.5°=
GH
DG

≠
1
2

，
∴GH≠
1
2

DG，
∴GH≠
1
4

BC，则③不正确；
∵∠ECH=∠CBH，∠CHE=CHB，
∴△HEC∽△HCB，
∴HC：HB=HE：HC，即HC2=HE•HB，
而HC=HF，
∴HF2=HC•HB，则④正确；
故选C．