Question

如图，某人在一栋高层建筑顶部C处测得山坡坡脚A处的俯角为60°，又测得山坡上一棵小树树干与坡面交界P处的俯角为45°，已知OA=50米，山坡坡度为（即tan∠PAB=，其中PB⊥AB），且O、A、B在同一条直线上．
（1）求此高层建筑的高度OC；
（2）求坡脚A处到小树树干与坡面交界P处的坡面距离AP的长度．（人的高度及测量仪器高度忽略不计，结果保留根号形式）

Answer

（1）在Rt△OAC中，易知∠OAC的度数，通过解直角三角形即可得到OC的长；
（2）过P作OC的垂线，设垂足为M．在Rt△PMC中，易知∠CPM=45°，则CM=PM．可用PB分别表示出CM、PM的长，进而根据CM=PM得到关于PB的等量关系式，据此求出PB的长，然后在Rt△PAB中，根据勾股定理求得斜坡AP的长度．
【解析】
（1）Rt△OAC中，∠OAC=60°，OA=50米，
∴OC=OA•tan60°=50米．
答：此高层建筑的高度OC为50米．

（2）过P作PM⊥OC于M．
Rt△PMC中，∠CPM=45°，则PM=CM．
Rt△PBA中，tan∠PAB=．
设PB=x，则AB=2x．
CM=OC-OM=50-x，PM=OA+AB=50+2x．
∴50-x=50+2x，
即x=．
∵AB=2x，AP===x，
∴AB=（米），
AP=（米）．
答：坡脚A处到小树树干与坡面交界P处的坡面距离AP的长度为（米）．