Question

如图所示，⊙O的直径EF为10cm，弦AB，CD分别为6cm和8cm，且AB∥EF∥CD，则图中阴影部分的面积和为（ ）

A．πcm²
B．πcm²
C．πcm²
D．πcm²

Answer

本题易得出△ABO与△ABE的面积相等，△OCD与△CDF的面积相等（这两组三角形都是同底等高），因此阴影部分的面积为扇形OAB的面积和扇形OCD的面积和．直接求两个扇形的面积由难度，因此可找出它们之间的关系再进行求解．
过O作圆的直径MN，使得MN⊥EF与O，交AB于G；那么在Rt△BOG和Rt△COH中，易证得∠GBO=∠COH（通过两角的正弦值求证）．因此可得出∠BOF=∠CON，即扇形OBF的面积与扇形OCN的面积相等，也就得出了扇形OBF与扇形OAE的面积和正好等于扇形OCD的面积；因此阴影部分的面积和正好是半个圆的面积，由此可得出所求的解．
【解析】
如图，作直径MN，使MN⊥EF于O，交AB于G，交CD于H；连接OA、OB、OC、OD；
在Rt△OBG中，BG=3cm，OB=5cm，因此OG=4cm；
同理：在Rt△OCH中，CH=4cm，OC=5cm，因此OH=3cm；
sin∠DOF==，sin∠BOF==，sin∠COE==，
sin∠AOE==；即∠DOF=∠AOM=∠COE=∠BOM，∠CON=∠DON=∠AOE=∠BOF
因此S扇形OAE=S扇形OBF=S扇形CON=S扇形ODN；
∴S阴影=S△ABE+S弓形AMB+S△CDF+S弓形CND
=S△OAB+S弓形AMB+S△OCD+S弓形CND
=S扇形OAB+S扇形OCN+S扇形ODN
=S扇形OAB+S扇形OAE+S扇形OBF
=S⊙O
=cm2．
故选A．