Question

设x₁，x₂是关于x的方程x²-4x+k+1=0的两个实数根．试问：是否存在实数k，使得x₁•x₂＞x₁+x₂成立？请说明理由．
（温馨提示：关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0时，则它的两个实数根是：）

Answer

方程有两个实数根，必须满足△=b2-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围，再利用根与系数的关系，找出其矛盾，证明出不存在符合条件的实数k．
【解析】
∵方程有实数根，
∴b2-4ac≥0，
∴（-4）2-4（k+1）≥0，
即k≤3．
解法一：又∵，
∴x1+x2=（2+）+（2-）=4．
x1•x2=（2+）•（2-）=k+1．
若x1•x2＞x1+x2，
即k+1＞4，∴k＞3．
而这与k≤3相矛盾，
因此，不存在实数k，使得x1•x2＞x1+x2成立．
解法二：又∵x1+x2==4，
x1•x2==k+1（以下同解法一）．