Question

已知关于x的方程x²-kx+k²+n=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，且（2x₁+x₂）²-8（2x₁+x₂）+15=0．
（1）求证：n＜0；
（2）试用k的代数式表示x₁；
（3）当n=-3时，求k的值．

Answer

（1）方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于n，k的不等式，结合不等式的性质，证出结论；
（2）根据根与系数的关系，把x1+x2=k代入已知条件（2x1+x2）2-8（2x1+x2）+15=0，即可用k的代数式表示x1；
（3）首先由（1）知n＜-k2，又n=-3，求出k的范围．再把（2）中求得的关系式代入原方程，即可求出k的值．
证明：（1）∵关于x的方程x2-kx+k2+n=0有两个不相等的实数根，
∴△=k2-4（k2+n）=-3k2-4n＞0，
∴n＜-k2．
又-k2≤0，
∴n＜0．

【解析】
（2）∵（2x1+x2）2-8（2x1+x2）+15=0，x1+x2=k，
∴（x1+x1+x2）2-8（x1+x1+x2）+15=0
∴（x1+k）2-8（x1+k）+15=0
∴[（x1+k）-3][（x1+k）-5]=0
∴x1+k=3或x1+k=5，
∴x1=3-k或x1=5-k．

（3）∵n＜-k2，n=-3，
∴k2＜4，即：-2＜k＜2．
原方程化为：x2-kx+k2-3=0，
把x1=3-k代入，得到k2-3k+2=0，
解得k1=1，k2=2（不合题意），
把x1=5-k代入，得到3k2-15k+22=0，△=-39＜0，所以此时k不存在．
∴k=1．