Question

如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为．
试解决下列问题：
（1）点D坐标为（ ）；
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
（3）等式BO=BD能否成立？为什么？
（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．

Answer

（1）在Rt△OCD中，根据勾股定理易求OC=CD=．
（2）根据Rt△OAB的面积是可求出B点的坐标，因为BD2=AC2+（AB-CD）2，所以把B点的坐标代入可得BD长，即可表示成关于t的函数关系式．
（3）假设OB=BD，在Rt△OAB中，用t把OB表示出来，根据题（2）中用t表示的BD．两者相等，可得一二次函数表达式，用根的判别式判断是否有解．
（4）两种情况，先假设∠EBD=90°时（如图2），此时F、E、M三点重合，根据已知条件此时四边形BDCF为直角梯形，然后假设∠EDB=90°时（如图3），根据已知条件，此时四边形BDCF为平行四边形，在Rt△OCD中，OB2=OD2+BD2，用t把各线段表示出来代入，可求出BD=CD=，即此时四边形BDCF为菱形．
【解析】
（1）D（，）；（1分）

（2）由Rt△OAB的面积为，得B（t，），
∵BD2=AC2+（AB-CD）2，
∴BD2=（-t）2+（-）2=t2+-2（t+）+4①
=，
∴BD=|t+②；

（3）解法一：若OB=BD，则OB2=BD2．
在Rt△OAB中，OB2=OA2+AB2=t2+．
由①得t2+．
解得：t+，∴t2-t+1=0，
∵△=-4=-2＜0，∴此方程无解．
∴OB≠BD．

解法二：若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上．
∵，
∴直线CM的函数关系式为y=-x+，③
由Rt△OAB的面积为．④
联立③，④得：x2-x+1=0，
∵△=-4=-2＜0，∴此方程无解，
∴OB≠BD．

解法三：若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上，如图1
过点B作BG⊥y轴于G，CM交y轴于H，
∵S△OBG=S△OAB=，
而S△OMH=S△MOC=，（5分）
显然与S△HMO与S△OBG矛盾．
∴OB≠BD．

（4）如果△BDE为直角三角形，因为∠BED=45°，
①当∠EBD=90°时，此时F，E，M三点重合，如图2
∵BF⊥x轴，DC⊥x轴，∴BF∥DC．
∴此时四边形BDCF为直角梯形．

②当∠EDB=90°时，如图3
∵CF⊥OD，
∴BD∥CF．
又AB⊥x轴，DC⊥x轴，
∴BF∥DC．
∴此时四边形BDCF为平行四边形．
下证平行四边形BDCF为菱形：

解法一：在△BDO中，OB2=OD2+BD2，
∴t2+，
∴t+，
[方法①]t2-2t+1=0，∵BD在OD上方
解得：t=-1，=+1或t=+1，=-1（舍去）．
得，
[方法②]由②得：BD=t+，
此时BD=CD=，
∴此时四边形BDCF为菱形（9分）

解法二：在等腰Rt△OAE与等腰Rt△EDB中
∵OA=AE=t，OE=t，则ED=BD=2-t，
∴AB=AE+BE=t+（2-t）=2-t，
∴2以下同解法一，
此时BD=CD=，
∴此时四边形BDCF为菱形．（9分）