Question

如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：
（1）DE=1；
（2）AB边上的高为；
（3）△CDE∽△CAB；
（4）△CDE的面积与△CAB面积之比为1：4．
其中正确的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

根据图形，利用三角形中位线定理，可得DE=1，（1）成立；AB边上的高，可利用勾股定理求出等于，（2）成立；DE是△CAB的中位线，可得DE∥AB，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得△CDE∽△CAB，（3）成立；由△CDE∽△CAB，且相似比等于1：2，那么它们的面积比等于相似比的平方，就等于1：4，（4）也成立．
【解析】
∵DE是它的中位线，∴DE=AB=1，故（1）正确，
∴DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，故（3）正确，
∴S△CDE：S△CAB=DE2：AB2=1：4，故（4）正确，
∵等边三角形的高=边长×sin60°=2×=，故（2）正确．
故选D．