Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C在坐标轴上，OA=60cm，OC=80cm．动点P从点O出发，以5cm/s的速度沿x轴匀速向点C运动，到达点C即停止．设点P运动的时间为ts．
（1）过点P作对角线OB的垂线，垂足为点T．求PT的长y与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）在点P运动过程中，当点O关于直线AP的对称点O'恰好落在对角线OB上时，求此时直线AP的函数解析式；
（3）探索：以A，P，T三点为顶点的△APT的面积能否达到矩形OABC面积的？请说明理由．

Answer

（1）根据矩形的性质可知OB=AC，根据直角三角形的性质可知=100，即OB=AC=100．判定Rt△OPT∽Rt△OBC则可得出，即可得出函数解析式，根据P的运动情况求出t的取值范围即可．
（2）当O点关于直线AP的对称点O′恰好在对角线OB上时，A，T，P三点在一条直线上．判定Rt△AOP∽Rt△OCB，则可得出，点P的坐标为（45，0）．列出AP的函数解析式将点A（0，60）和点P（45，0）代入解析式，解出即可．
（3）由（2）知，当t=9时，A，T，P三点在一条直线上，此时点A，T，P不构成三角形．所以分两种情况：1、当0＜t＜9时，列出方程求解看有无实数根即可．2、当9＜t≤16时，根据图（3）列出方程求解看有无实数根即可．
【解析】
（1）在矩形OABC中，
因为OA=60，OC=80，
所以OB=AC==100．
因为PT⊥OB，
所以Rt△OPT∽Rt△OBC．
因为，即，
所以y=PT=3t．
当点P运动到C点时即停止运动，此时t的最大值为．

（2）（如图2）当O点关于直线AP的对称点O'恰好在对角线OB上时，A，T，P三点在
一条直线上．
所以AP⊥OB，∠1=∠2．
所以Rt△AOP∽Rt△OCB，
所以．
所以OP=45．
所以点P的坐标为（45，0）．
设直线AP的函数解析式为y=kx+b．
将点A（0，60）和点P（45，0）代入解析式，
得，
解这个方程组得．
所以此时直线AP的函数解析式是．

（3）由（2）知，当时，A，T，P三点在一条直线上，此时点A，T，P不构
成三角形．
所以分两种情况：
1、当0＜t＜9时，点T位于△AOP的内部（如图1），过A点作AE⊥OB，垂足为点E，
由AO•AB=OB•AE可得AE=48．
所以S△APT=S△AOP-S△ATO-S△OTP=×60×5t-×4t×48-×4t×3t=-6t2+54t．
若S△APT=S矩形OABC，
则-6t2+54t=1200，即t2-9t+200=0．
此时，△=（-9）2-4×1×200＜0，
所以该方程无实数根．
所以当0＜t＜9时，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的．
2、当9＜t≤16时，点T位于△AOP的外部．
此时S△APT=S△ATO+S△OTP-S△AOP=6t2-54t．
若S△APT=S矩OABC，
则6t2-54t=1200，即t2-9t-200=0．
解得，（舍去）．
由于881＞625=252，
所以．
而此时9＜t≤16，
所以也不符合题意，应舍去．
所以当9＜t≤16时，以A，P，T为顶点的△APT的面积也不能达到矩形OABC面积的．
综上所述，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的．