Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．
（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．
①求证：△ABD∽△DCE；
②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
（2）①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使△ADE'是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；
②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．

Answer

（1）由∠ADB+∠BAD=135°，∠ADB+∠CDE=135°，得出∠BAD=∠CDE；第二问分AD=AE、AD=DE、AE=DE三种情况讨论．
（2）存在，可证△ADC∽△AE′D，第二小题不存在（矛盾的结论）．
【解析】
（1）①由∠BAC=90°，AB=AC，推出∠B=∠C=45°．
由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC．
推出△ABD∽△DCE．

②分三种情况：
（ⅰ）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE=AC=2．
（ⅱ）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，
又AD=DE，知△ABD≌△DCE．
所以AB=CD=2，故BD=CE=2，
所以AE=AC-CE=4-2．
（ⅲ）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．
所以DE=AE=AC=1．

（2）①存在（只有一种情况）．
由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°．
由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°．
从而推出∠ADC=∠DE′A．证得△ADC∽△AE′D．
所以，又AD=DE′，所以DC=AC=2．
②不存在．
因为D和B不重合，
所以∠AED＜45°，∠ADE=45°，
∠DAE＞90度．
所以AD≠AE，
同理可得：AE≠DE．