Question

如图，l₁，l₂，l₃，l₄是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25．
（1）连接EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等．
（2）求h的值．

Answer

（1）△ABE和△FBE同底同高，因而面积相等，同理△FBE和△EDF的面积相等，△EDF和△CDF的面积相等，因而△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等．
（2）根据正方形的面积就可以求出边长，得到AE，AB的长，根据勾股定理得到BE的长，△ABE的面积是长方形的面积的，再根据三角形的面积等于BE•h就可以求出h的长．
（1）证明：连接EF，
∵l1∥l2∥l3∥l4，且四边形ABCD是正方形，
∴BE∥FD，BF∥ED，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BE=FD，（2分）
又∵l1、l2、l3和l4之间的距离为h，
∴S△ABE=BE•h，S△FBE=BE•h，
S△EDF=FD•h，S△CDF=FD•h，
∴S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF．（4分）

（2）【解析】
过A点作AH⊥BE于H点，过E点作EM⊥FD于M点，
方法一：∵S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF，
又∵正方形ABCD的面积是25，
∴S△ABE=，且AB=AD=5，（7分）
又∵l1∥l2∥l3∥l4，每相邻的两条平行直线间的距离为h，
∴AH=EM=h，
∵AH⊥l2，EM⊥l3，l2∥l3，
∴∠3=∠4=90°，AH∥EM，
∴∠1=∠2，
∴△AHE≌△EMD，
∴AE=DE，
同理：BF=FC，
∴E、F分别是AD与BC的中点，
∴AE=AD=，
∴在Rt△ABE中，
BE==，（10分）
又∵AB•AE=BE•AH，
∴．（12分）
方法二：不妨设BE=FD=x（x＞0），
则S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF=，（6分）
又∵正方形ABCD的面积是25，
∴S△ABE=xh=，且AB=5，
则xh=①，（8分）
又∵在Rt△ABE中：AE=，
又∵∠BAE=90°，AH⊥BE，
∴Rt△ABE∽Rt△HAE，
∴，即，
变形得：（hx）2=25（x2-52）②（10分），
把①两边平方后代入②得：=25（x2-52）③，
解方程③得x=（x=-舍去），
把x=代入①得：h=．（12分）