Question

如图所示，等腰梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，AD=DC，AC=BD=AB．
（1）若∠ABD=a，求a的度数；
（2）求证：OB²=OD•BD．

Answer

（1）根据DC∥AB，AD=DC，可以得到∠DAC=∠BAC，又等腰梯形ABCD中∠BAC=∠ABD，在等腰△ABD中，BD=AB利用三角形内角和定理列式求解即可；
（2）根据角的度数，AD=AO=OB，△AOD∽△BAD，根据相似三角形对应边成比例求解即可．
（1）【解析】
∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AD=DC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAB=2∠CAB=2α，
在等腰梯形ABCD中，∠CAB=∠ABD=α，
又∵BD=AB，
∴∠DAB=∠ADB，
∴在△ABD中，
α+2×2α=180°，
解得α=36°；

（2）证明：∵α=36°，
∴∠DAC=∠CAB=36°，
∠ADB=∠DAB=36°×2=72°，
∴AD=AO=OB，△AOD∽△BAD，
∴，
∴AD2=OD•BD，
即OB2=OD•BD．