Question

在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
（温馨提示：可以作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的．这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了．）

Answer

（1）由于C、D是定点，则CD是定值，如果△CDE的周长最小，即DE+CE有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D'，当点E在线段CD′上时，△CDE的周长最小；
（2）由于DC、EF的长为定值，如果四边形CDEF的周长最小，即DE+FC有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，当点E在线段D′G上时，四边形CDEF的周长最小．
【解析】
（1）如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．
若在边OA上任取点E'与点E不重合，连接CE'、DE'、D'E'
由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE，
可知△CDE的周长最小．
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，
∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6，
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC，有
∴
∴点E的坐标为（1，0）；

（2）如图，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，连接D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2，
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF，
又DC、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小．
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG，有．
∴
∴
∴点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，0）（10分）