Question

如图，已知C、D是双曲线y=在第一象限分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点．设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），连接OC、OD（O是坐标有点），若∠BOC=∠AOD=α，且tanα=，OC=．
（1）求C、D的坐标和m的值；
（2）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明，若不存在，说明理由．

Answer

（1）过点C作CG⊥x轴于G，在直角△OCG中，已知tanα=，OC=，就可以求出CG，OQ的长，就得到C点的坐标．根据待定系数法得到反比例函数的解析式．过D作DH⊥x轴于H，则DH=y2，OH=x2，在Rt△ODH中，tanα=，∴，即y2=3x2，由x2y2=3解得DH的长，进而求出OH，得到D点的坐标．
（2）双曲线上存在点P，使得S△POC=S△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的交点，易证△POC≌△POD，则S△POC=S△POD
【解析】
（1）过点C作CG⊥x轴于G，
则CG=y1，OG=x1，
在Rt△OCG中，∠GCO=∠BOC=α，
∵tanα=，
∴，
即y1=3x1，
又∵OC=，
∴x12+y12=10，
即x12+（3x1）2=10，
解得：x1=1或x1=-1（不合题意舍去）
∴x1=1，y1=3，
∴点C的坐标为C（1，3）．
又点C在双曲线上，可得：m=3，
过D作DH⊥x轴于H，则DH=y2，OH=x2
在Rt△ODH中，tanα=，
∴，
即x2=3y2，
又∵x2y2=3，
∴y2=1或y2=-1（不合舍去），
∴x2=3，y2=1，
∴点D的坐标为D（3，1）；

（2）双曲线上存在点P，使得S△POC=S△POD，
这个点就是∠COD的平分线与双曲线的交点
∵点D（3，1），
∴OD=，
∴OD=OC，
∴点P在∠COD的平分线上，
则∠COP=∠POD，又OP=OP
∴△POC≌△POD，
∴S△POC=S△POD．