Question

如图，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数的图象上．
（1）求m，k的值；
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

Answer

（1）求m、k两个未知字母，把A、B两点代入反比例函数即可；
（2）按图中所给情况，M、N有可能都在坐标轴的正半轴，也有可能在坐标轴的负半轴，平移应找到对应点，看是如何平移得到．求出直线MN的函数表达式，需求出A，B两点的坐标．
【解析】
（1）由题意可知，m（m+1）=（m+3）（m-1），解得m=3，（2分）
∴A（3，4），B（6，2），
∴k=4×3=12；（3分）

（2）存在两种情况，如图：
①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M1点坐标为（x1，0），
N1点坐标为（0，y1），
∵四边形AN1M1B为平行四边形，
∴线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的，
（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）
由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），
∴N1点坐标为（0，4-2），即N1（0，2），
M1点坐标为（6-3，0），即M1（3，0），（4分）
设直线M1N1的函数表达式为y=k1x+2，
把x=3，y=0代入，解得，
∴直线M1N1的函数表达式为；（5分）
②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，
设M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2），
∵AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB=N1M1，AB=M2N2，
∴N1M1∥M2N2，N1M1=M2N2，
∴四边形N1M2N2M1为平行四边形，
∴点M1、M2与线段N1、N2关于原点O成中心对称，
∴M2点坐标为（-3，0），N2点坐标为（0，-2），（6分）
设直线M2N2的函数表达式为y=k2x-2，
把x=-3，y=0代入，解得，
∴直线M2N2的函数表达式为．
所以，直线MN的函数表达式为或．（7分）